Teori Group

Riza Baktianto ● Sabtu, 27 September 2014

Dalam tulisan ini akan dibahas suatu struktur aljabar dengan suatu himpunan tak kosong dan satu operasi biner serta memenuhi beberapa sifat. Struktur ini dikenal dengan nama Grup. Berikut definisi grup.
Definition
Suatu sistem aljabar yang (G, \cdot) yang memuat himpunan tak kosong G dilengkapi dengan operasi biner \cdot, dengan
\cdot : G \times G \rightarrow G

serta memenuhi aksioma-aksioma berikut
  1. Assositif
    (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) untuk setiap a,b,c \in G
  2. Eksistensi elemen Identitas
    terdapat elemen identitas e \in G sedemikian sehingga a \cdot e = e \cdot a = a untuk semua a \in G
  3. Eksistensi elemen Invers
    untuk setiap a \in G, terdapat a,b \in G sedemikian sehingga a \cdot b = b \cdot a = e
Berikut beberapa contoh dari grup.
Contoh
Himpunan bilangan asli \mathbb{N} dengan operasi penjumlahan bukan merupakan grup karena tidak memiliki identitas di \mathbb{N}.
Contoh
Himpunan semua bilangan bulat \mathbb{Z} adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat.
Penyelesaian.
Seperti yang telah diketahui bahwa penjumlahan dua bilangan bulat, hasilnya pasti di bilangan bulat juga. Jadi operasi penjumlahan sebarang bilangan bulat bersifat tertutup. Selanjutnya akan dicek tiga aksioma berikut.
  1. Assosiatif
    ambil sebarang a,b,c \in \mathbb{Z}, sehingga (a+b)+c=a+(b+c)
  2. Eksistensi elemen Identitas
    Klaim 0 merupakan identitas di \mathbb{Z}. Seperti yang kita tahu bahwa sifat dari bilangan bulat \mathbb{Z} yaitu a + 0 = 0 + a = a. Jadi 0 sebagai elemen identitas di \mathbb{Z}.
  3. Eksistensi elemen Invers
    Klaim -a sebagai elemen invers. Pandang a + (-a) = a - a = 0 dan (-a) + a = -a + a = 0. Sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0. Jadi, -a elemen invers di \mathbb{Z}
Grup yang memenuhi sifat komutatif untuk sebarang elemen di G, disebut dengan Grup Abelian (Grup Komutatif).
Contoh
Misal diberikan m sebarang bilangan bulat yang tetap dan G = {m \cdot a : a \in \mathbb{Z}} merupakan himpunan semua pergandaan dari bilangan bulat oleh bilangan bulat m. Buktikan bahwa G merupakan grup abelian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat.
Penyelesaian.
Ambil sebarang m \cdot a, m \cdot b dan m \cdot c di G untuk suatu a,b \in \mathbb{Z}.
  1. Sifat Tertutup
    m \cdot a + m \cdot b = m \cdot (a + b)
    karena a,b \in \mathbb{Z} dan berdasarkan sifat ketertutupan bilangan bulat, maka (a+b) \in \mathbb{Z}. Sehingga m \cdot (a + b) \in G. Jadi m \cdot a + m \cdot b</span> \in G.
  2. Assosiatif
    (m \cdot a + m \cdot b) + m \cdot b = m \cdot (a + b) + m \cdot b
    = m \cdot ((a + b) + c)
    = m \cdot (a + (b + c))
    = m \cdot a + m \cdot (b + c)
    = m \cdot a + (m \cdot b + m \cdot c)
  3. Eksistensi elemen identitas
    akan dicari elemen identitas, misal a' sedemikian sehingga memenuhi a + a' = a' + a = a
    m \cdot a + m \cdot a' = m \cdot (a + a')
    = m \cdot a
    berdasarkan sifat bilangan bulat, a + a' = a dipenuhi oleh a' = 0. Jadi, m \cdot 0 \in G sebagai elemen identitas.
  4. Eksistensi elemen invers
    akan dicari elemen invers dari G, misal a" sedemikian sehingga memenuhi a + a" = a" + a = 0.
    m \cdot a + m \cdot a" = m \cdot (a + a")
    = m \cdot 0
    berdasarkan sifat bilangan bulat, a + a" = 0 dipenuhi oleh a" = -a. Jadi, m \cdot (-a) \in G sebagai elemen invers.
Contoh
Diberikan m \in \mathbb{Z} tak nol. Misal G = {m^{a} : a \in \mathbb{Z}}. Buktikan G dengan perkalian komposisi adalah grup.
Penyelesaian.
ambil sebarang m^{a}, m^{b}, m^{c} \in G.
  1. Sifat ketertutupan
    m^{a} \cdot m^{b} = m^{a+b}
    karena a,b \in \mathbb{Z}, maka (a+b) \in \mathbb{Z}. Sehingga m^{a+b} \in G. Jadi m^{a} \cdot m^{b} \in G.
  2. Assossiatif
    (m^{a} \cdot m^{b}) \cdot m^{c} = m^{a+b} \cdot m^{c}
    = m^{(a+b)+c}
    = m^{a+(b+c)}
    = m^{a} \cdot m^{(b+c)}
    = m^{a} \cdot (m^{b} \cdot m^{c})
  3. Eksistensi elemen identitas
    Klaim m^{0} \in G sebagai elemen identitas untuk sebarang m^{a} \in G.
    m^{a} \cdot m^{0} = m^{a+0}
    = m^{a}
    m^{0} \cdot m^{a} = m^{0+a}
    = m^{a}
    m^{a} \cdot m^{0} = m^{0} \cdot m^{a} = m^{a}
    Jadi, m^{0} elemen identitas di G
  4. Eksistensi elemen invers
    Klaim m^{-a} \in G sebagai elemen invers untuk sebarang m^{a} \in G.
    m^{a} \cdot m^{-a} = m^{a+(-a)}
    = m^{0}
    m^{-a} \cdot m^{a} = m^{(-a)+a}
    = m^{0}
    m^{a} \cdot m^{-a} = m^{-a} \cdot m^{a} = m^{0}
    Jadi, m^{-a} elemen invers di G untuk sebarang elemen di G.

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)
 
Kumpulan Artikel Ilmiah © 2012 | Designed by Rocking Templates, helped by Chica Blogger