Teknik Integral : Integral Trigonometri

Riza Baktianto ● Sabtu, 27 September 2014

Secara umum dinyatakan bahwa integral-integral yang memuat fungsi trigonometri, dapat diselesaikan dengan memanfaatkan rumus-rumus trigonometri sederhana :
sin mx . cos nx = \frac{1}{2}[sin (m + n)x + sin (m - n)x]
sin mx . sin nx = -\frac{1}{2}[cos (m + n)x - cos (m - n)x]
cos mx . cos nx = \frac{1}{2}[cos (m + n)x + cos (m - n)x]
sin2 x + cos2 x = 1
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cot2 x = csc2 x
sin2 x = \frac{1-cos \quad 2x}{2}
cos2 x = \frac{1+cos \quad 2x}{2}
Contoh :
  1. \int sin5 x dx = \int sin4 x . sin x dx
    = \int (1 – cos2 x)2  . sin x dx
    = \int (1 – cos2 x)2 . sin x dx
    = \int (1 – 2 cos2 x + cos4 x) (sin x dx)
    misal u = cos x maka du = -sin x kemudian substitusi
    = \int (1 – 2 u2 x + u4 x) (-du)
    = -\int (1 – 2 u2 x + u4 x) du
    = -[u - \frac{2}{3} u3 + \frac{1}{5} u5 x] + C
    substitusi u = cos x, sehingga diperoleh
    = -[cos x - \frac{2}{3}  cos3 x + \frac{1}{5} cos5 x] + C
    = -cos x + \frac{2}{3}  cos3 x – \frac{1}{5} cos5 x] + C
  2. \int cos4 x dx = \int (\frac{1+cos \quad 2x}{2})^2 dx
    = \frac{1}{4} \int (1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx
    misal u = 2x maka du = 2 dx atau du/2 = dx (untuk cos 2x)
    dan v = 4x maka dv = 4 dx atau dv/4 = dx (untuk cos 4x)
    = \frac{1}{4} [\int 1 dx + \int 2 cos u (du/2) + \int \frac{1}{2} dx + \frac{1}{2} \int cos v (dv/4)]
    = \frac{1}{4} [\int 1 dx + \int cos u du + \int \frac{1}{2} dx  + \frac{1}{8} \int cos v dv]
    = \frac{1}{4} [x + \frac{1}{2} sin u + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} sin v)]
    substitusi u = 2x dan v = 4x sehingga diperoleh
    = \frac{1}{4} [x + \frac{1}{2} sin 2x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} sin 4x]
    = \frac{1}{4} x + \frac{1}{8} sin 2x + \frac{1}{8} x + \frac{1}{32} sin 4x
    = \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} sin 2x + \frac{1}{32} sin 4x + C
  3. \int sin2 x . cos3 x dx = \int sin2 x . cos2 x . cos x dx
    = \int sin2 x (1 – sin2 x) cos x dx
    = \int (sin2 x – sin4 x) (cos x dx)
    misal sin x = u maka cos x dx = du, kemudian substitusi
    = \int (u2 - u4) du
    = \frac{1}{3} u3 - \frac{1}{5} u5 + C
    substitusi u = sin x, diperoleh
    = \frac{1}{3} sin3 x – \frac{1}{5} sin5 x + C
  4. \int sin2 x . cos4 x dx = \int (\frac{1-cos \quad 2x}{2})(\frac{1+cos \quad 2x}{2})^2 dx
    = \frac{1}{8} \int (1 – cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos2 2x) dx
    = \frac{1}{8} \int (1 + cos 2x – cos2 2x – 2 cos3 2x) dx
    misal 2x = u maka 2 dx = du
    = \frac{1}{8} \int (1 + cos u – cos2 u – 2 cos3 u) (du/2)
    = \frac{1}{16} \int (1 + cos u – cos2 u – 2 cos3 u) du
    = \frac {1}{16} (u – sin u + sin2 u + 2 sin3 u) + C
    substitusi u = 2x, diperoleh
    = \frac {1}{8} x – \frac{1}{16} sin 2x + \frac{1}{16}  sin2 2x + \frac {1}{8}  sin3 2x + C
  5. \int sin 3x . cos 4x = \int \frac{1}{2} (sin 7x + sin(-x)) dx
    = \frac{1}{2} \int (sin 7x – sin x) dx
    = \frac{1}{2} \int sin 7x dx – \frac{1}{2} \int sin x dx
    misal 7x = u maka 7 dx = du, kemudian substitusi (untuk sin 7x)
    = \frac{1}{2} \int sin u (du/7) – \frac{1}{2} \int sin x dx
    = -\frac{1}{14} cos u + \frac{1}{2} cos x + C
    substitusi u = 7x, diperoleh
    = -\frac{1}{14} cos 7x + \frac{1}{2} cos x + C
Ada beberapa persoalan integral trigonometri yang langsung dapat ditangani menggunakan teknik substitusi.
Contoh :
  1. \int sin 3x . cos 3x dx = \int sin 3x . (cos 3x dx)

    misal sin 3x = u maka 3 cos 3x dx = du, kemudian substitusi
    = \int u (du/3)
    = \frac{1}{3} \int u du
    = \frac{1}{3} \frac{1}{2} u2 + C
    substitusi u = sin 3x, diperoleh
    = \frac{1}{6} sin2 3x + C
  2. \int tan x dx = \int \frac{sin \quad x}{cos \quad x} dx
    = \int \frac{1}{cos \quad x} sin x dx
    misal cos x = u maka -sin x dx = du
    = \int \frac{1}{u} (-du)
    = -ln |u| + C
    substitusi u = cos x, diperoleh
    = -ln |cos x| + C
  3. \int sec x dx = \int sec x \frac{sec \quad x+tan \quad x}{sec \quad x+ tan \quad x} dx
    = \int \frac{1}{sec \quad x+ tan \quad x} (sec2 x + sec x tan x)dx
    misal sec x + tan x = u maka (sec2 x + sec x tan x) dx = du (Turunan Aturan Perkalian), kemudian substitusi
    = \int \frac{1}{u} du
    = ln |u| + C
    substitusi u = sec x + tan x
    = ln |sec x + tan x| + C

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)
 
Kumpulan Artikel Ilmiah © 2012 | Designed by Rocking Templates, helped by Chica Blogger