Kumpulan Artikel Ilmiah: Rumus Pada Bangun Datar

a. RUMUS Segitiga.

Luas segitiga $L= \frac{1}{2}\times a \times t$ , dimana a = alas dan t = tinggi.
rumus Heron
Luas segitiga, $L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , dimana $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ , a,b, dan c panjang sisi segitiga.
$L = \frac{1}{2}bc \sin\alpha=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$
RUMUS Segitiga sama sisi dengan panjang sisi a ,
Luas, $L =\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ ,
tinggi, $t=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Keliling, K = 3 x a.
b. RUMUS Persegi ( bujur sangkar), dengan panjang sisi = a
Luas , $L= a^{2}$
Keliling, $K = 4\times a$
Panjang diagonal $= a \sqrt{2}$
c. RUMUS Persegi panjang, dengan panjang = p dan lebar = l.
Luas, $L = p \times l$
Keliling, $K = 2(p+l)$
Panjang diagonal, $= \sqrt{p^{2}+l^{2}}$ .
d. RUMUS Lingkaran
Luas lingkaran, $L = \pi \times r^{2}$ , dimana r = jari-jari
Keliling lingkaran, $K = 2 \times \pi \times r$
Jari-jari lingkaran luar suatu segitiga
$R = \frac{abc}{4L}$ , dimana a,b,c sisi sisi segitiga dan L luas segitiga.
Jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga
$r = \frac{L}{s}$ , dimana L luas segitiga dan $s = \frac{a+b+c}{2}$ .
e. RUMUS Jajaran genjang
Luas Jajaran genjang, $L= a \times t$ , dimana a = alas dan t = tinggi.
$L = a \times b \times \sin \alpha$ , dimana a, b sisi yang membentuk sudut $\alpha$ .
Keliling, $K = 2(a+b)$ , a dan b sisi yang tak berhadapan
f. RUMUS Trapesium.
Luas trapesium, $L = \frac{1}{2}\times (a+b)\times t$ , dimana a, b sisi yang sejajar dan t tinggi.
g. RUMUS Segi empat
Segiempat ABCD dengan AB = a cm, BC = b cm, CD= c dan DA = d cm, luas segiempat , $L^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd \cos^{2}\alpha$ , dengan $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ dan $2 \alpha$ adalah jumlah sudut yang saling berhadapan.
h. RUMUS Segi n beraturan.
Luas , $=\frac{1}{4}na^{2}\cot \frac{\pi}{n}$ .

Rataan Aritmetika, Geometri dan Harmonik dalam MATEMATIKA

Jika n buah bilangan real positif $a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}$ , maka didefinisikan bahwa:
Rataan Aritmetika atau Arithmetic Mean (AM)
$AM =\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n}$ . Rataan geometri atau geometric mean (GM)
$GM = {}^{n}\sqrt{a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times ... \times a_{n}}$
Rataan harmonik atau Harmonic Mean (HM)
$HM =\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{ a_{2}}+\frac{1}{ a_{3}}+ ... +\frac{1}{ a_{n}}}$
Perhatikan uraian dibawah ini
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0$
$a + b - 2\sqrt{ab}\geq 0$
$a + b \geq 2\sqrt{ab}$
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ ………… (1)
Jika kedua ruas persamaan (1)dibagi dengan ab, maka didapat
$\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}{2} \geq \frac{1}{\sqrt{ab}}$
sehingga ${\sqrt{ab}} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ …… (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
dan terlihat bahwa $AM\geq GM \geq HM$
Untuk pembuktian pertidaksamaan diatas bisa dilihat pada situs :http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means.
Contoh
jika a,b,c,d adalah bilangan real positif, tunjukkan bahwa
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4$
Bukti.
a,b,c,d bilangan real positif , berakibat $\frac {a}{b}$ , $\frac {b}{c}$ , $\frac{c}{d}$ , $\frac {d}{a}$ juga bilangan real positif, sehingga berlaku
$AM \geq GM$
$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4} \geq {}^{4}\sqrt {\frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{d}\times \frac{d}{a}}$
$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4} \geq 1$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \geq 4$ .
terbukti.

PEMBAHASAN SOAL LOGARITMA

Tentukan penyelesaian dari ${}^{a}\log b +{}^{b}\log a = \frac {10}{3}$ dan $ab = 16$ . Jawab.
misalkan ${}^{a}\log b = x$ ,
${}^{a}\log b +{}^{b}\log a = \frac {10}{3}$
$x + \frac{1}{x}=\frac{10}{3}$ . Kedua ruas dikalikan x, sehingga diperoleh :
$x^{2}+ 1 = \frac{10}{3}x$
$3x^{2}-10x+3 = 0$
$\left(3x-1\right)\left (x-3\right) = 0$
$x = \frac{1}{3}$ atau $x = 3$ , subtitusi pada ${}^{a}\log b = x$ , sehingga:
${}^{a}\log b = \frac{1}{3}$
$b = a^{\frac{1}{3}}$ , karena $ab = 16$ , maka diperoleh:
$a.a^{\frac{1}{3}}=16$
$a^{\frac{4}{3}}=16$
$a = 16^{\frac{3}{4}}$
$a = 8$ dan $b = 2$
untuk $x = 3$ , dengan cara yang sama diperoleh $a = 2$ dan $b = 8$ .
soal 4
Tentukan penyelesaian dari $2.{}^{x}\log 4 -{}^{2}\log \sqrt{x}=\frac{7}{2}$ .
Jawab.
Syarat

0" title="x > 0" class="latex">, $x\neq 1$ .
$2.{}^{x}\log 4 -{}^{2}\log \sqrt{x}=\frac{7}{2}$
$2.{}^{x}\log 2^{2} -{}^{2}\log x^{\frac{1}{2}}=\frac{7}{2}$
$2.2.{}^{x}\log 2 -\frac{1}{2}.{}^{2}\log x=\frac{7}{2}$
$4.{}^{x}\log 2 -\frac{1}{2}.{}^{2}\log x=\frac{7}{2}$
misal ${}^{x}\log 2 = p$
$4.p - \frac{1}{2}.\frac{1}{p}=\frac{7}{2}$ , kedua ruas dikalikan 2p sehingga :
$8p^{2}-7p-1=0$
$\left(8p+1\right)\left(p-1\right)=0$
$p = -\frac{1}{8}$ , atau $p = 1$
sehingga ${}^{x}\log 2 = -\frac{1}{8}$ atau ${}^{x}\log 2 = 1$ .
$x^{-\frac{1}{8}}= 2$ , $x^{1} = 2$
$x = 2^{-8}=\frac{1}{256}$ , $x = 2$ .

Kumpulan Artikel Ilmiah

Main Menu

Rumus Pada Bangun Datar

Rataan Aritmetika, Geometri dan Harmonik dalam MATEMATIKA

PEMBAHASAN SOAL LOGARITMA

0 komentar:

Posting Komentar

Blog Archive

Blog Sahabat

Popular Posts